Question

大学物理狭义相对论问题

一个直角三角形ABC的两条直角边长为a和b，相对于一个平行于BC边以速度0.8c（c为真空中的光速）运动的观测者，此三角形的面积为？（麻烦写一下过程或者原理）

Answer 1

三角形面积公式为：S＝0.5×底×高，可见如果底不变，面积与高成比例变化；如果高不变则面积与底成比例变化。

因为是直角三角形，所以无论是沿AC边方向运动还是沿BC边运动（问题中只说相对速度，没说运动方向），都是非常简单的，因为只有一个高发生了改变。事实上可以证明沿任何方向上压缩单方向尺寸，面积都以相同的比例压缩。

 

√(1－v²/c²)＝0.6，γ＝5/3

所以观测者看到的面积为原面积的5/3倍。

 

我们需要注意一个虽然教科书上并没有明确解释过但却非常重要的问题，相对论中的结论都是指相对观测者的观测结果而言的，但是往往表达时不明确，有的时候会以相反的方式表达。

 

比如：

在时间表述上，相对论的表述是“相对观测者高速运动的系统上的时间变慢了”，这是相对观测者的观测结果而言的直接表达。实际意义是“真实值比观测值小”。

在质量表述上，相对论的表达是“相对观测者者高速度运动的物体质量变大了”，这是相对物体质量而言的反义表达，实际意义还是“真实值比观测值小”。

换作表达时间时相同的表达方式，就应该说成是“高速运动的物体质量变小了”。

 

这一点非常重要，不注意的话会引起混乱。最好是强调一下是观测者看到的值还是由观测值换算出来的真实值。

 

对于相对观测者高速运动的三角形，以相对论原理来说，相对观测值不变而言真实值变小。以绝对时空来说，相对真实值不变而言，观测值变大。

 

之所以多说了这些话，原因是题目中给出的三角形的各边长度只标了AB、AC、BC三个边，并没有说明所谓的面积中是指三角形的静止面积还是观测者看到的面积。好在相对论不在乎这些，计算结果只不过是一个比例而已。即：观测值/真实值＝5/3。

 

此外还要再说几句：

这是因为现在发现不同的教科书上使用的狭义相对论公式不同，有的书上只给了绝对数值的公式，没有加入光程差问题引起的观测会加值，因为这部份值不是相对论效应引起的变化。有的书上给出的公式是加上了光程差的公式，也就是说，不是绝对数值，而是加上了因为光的传播速度引起的时间差造成的真实观测结果。这样的结果会因为运动方向的不同而产生不同的值。

 

我个人认为，相对论中的相对论因子（洛伦兹不喜欢别人称那个因子为“洛伦兹因子”）。是没有计算光程差的因子，所以计算中应该按没有光程差的参数来计算，光程差不属于相对论效应的内容，应该在结果中另行叠加。

 

上图是洛伦兹推导洛伦兹因子的模型，图中A是相对O以速度v运动的系统，B是A系统上的一点。在A与O重叠一的同时，一光子由A射向B，在A看光的路径是ct'，在O看光子的路径是ct，并且在，t 时间内A移动了vt 的距离。

这里面没有考虑光从A的当前位置传达到O所需要的时间，所以是没有光程差的绝对数值。

（光子从B返回A及从B返回O的时间都是二倍单程时间，所以对时间比例而言不存在时间差。）

 

根据勾股定理得知(ct')²＋(vt)²＝(ct)²；

解得：t'＝t√(1－v²/c²)，

根据相对速度等价：即A相对O的速度为v，O相对A的速度也必然是v得知，对于vt的距离，在A看就是vt'。因此距离的比例与时间的比例相同，S'＝S√(1－v²/c²)。

 

从图上可以看出，无论v是多少，受影响的是ct，而ct'是不会因为v的变化而改变的。我们把不变的参数为“真实值”，因为某些因素（比如速度）的影响而会改变的值叫作“观测值”（比如t）。