设m,n是不同的正整数,试将m^6+n^6用异于(m^3)^2+(n^3)^2的方式表示两个完全平方数的和。
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m⁶+n⁶ = (m²+n²)(m⁴-m²n²+n⁴) = (m²+n²)((m²-n²)²+(mn)²).
借助恒等式: (a²+b²)(c²+d²)
= a²c²+b²d²+a²d²+b²c²
= a²c²-2abcd+b²d²+a²d²+2abcd+b²c²
= (ac-bd)²+(ad+bc)².
可得m⁶+n⁶ = (m(m²-n²)-n(mn))²+(m(mn)+n(m²-n²))² = (m³-2mn²)²+(2nm²-n³)².
借助恒等式: (a²+b²)(c²+d²)
= a²c²+b²d²+a²d²+b²c²
= a²c²-2abcd+b²d²+a²d²+2abcd+b²c²
= (ac-bd)²+(ad+bc)².
可得m⁶+n⁶ = (m(m²-n²)-n(mn))²+(m(mn)+n(m²-n²))² = (m³-2mn²)²+(2nm²-n³)².
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