Question

高中立体几何问题

Answer 1

(1)不妨令a=2,连接AC,BD交於O,过O作一直线l∥BB1,由直四棱柱的性质可知l⊥面ABCD,且l与面A1B1C1D1的交点是菱形A1B1C1D1的中心O1
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD
∴l,AC,BD两两垂直
∴以O为原点,OB,OC为x,y轴建立右手直角坐标系
∵AB=AC=2,∠ABC=60°,∴OC=1,OB=√3,OO1=√2
∴A(0,-1,0),B1(√3,0,√2),∵E在A1C1上,∴设E(0,t,√2)
∴AB1→=(√3,1,√2),AE→=(0,t+1,√2)
面AB1E的法向量n→=AE→×AB1→=(√2t,√6,-√3(t+1))
B(√3,0,0),C1(0,1,√2),∴BC1→=(-√3,1,√2)
∵BC1∥面AB1E,∴BC1→·n→=0
即-√6t+√6-√6(t+1)=0,t=0
∴AE→=(0,1,√2)
∴AE=√(0+1+2)=√3=√3a/2(设a=2是为了计算方便,记得最後所有要求的数据都要加上a/2这个量)
(2)∵F在CC1上,∴设F(0,1,k),0≤k≤√2
A1(0,-1,√2),∴A1F→=(0,2,k-√2)
∵A1F⊥面AB1E,∴A1F→∥n→
n→=(0,√6,-√3)
由共线向量基本定理可知存在实数s使得A1F→=sn→
∴有0=s*0,2=s*√6,k-√2=s*(-√3)
解得s=2/√6,k=0
即F与C重合
∴存在F使A1F⊥面AB1E,此时F与C重合

Answer 2

果断建立坐标系，搞定

追问

怎么建我们还没学

追答

空间直角坐标系，选修会讲