Question

高等代数重根问题，麻烦老师有空看看

我们知道定理”如果不可约多项式p(x)是f(x)的k 重因式(k≥1),那么它是导数f'(x)的k-1重因式”反过来不一定成立，为什么加上条件f'(x)|f(x)就一定成立呢？我看到一道证明题“如果f'(x)|f(x),证明f(x)有n重根，n为f(x)的次数”直接这样用的。

Answer 1

若设不可约多项式p是f‘的p-1重因式，记f'=gp^(k-1)，且(p,g)=1
若f'|f，则可设f=hf'=hgp^(k-1) => f'=(hg)'p^(k-1)+(k-1)hgp^(k-2)
=[(hg)'p+(k-1)hg]p^(k-2)，∴p|(hg)'p+(k-1)hg
即p|hg => p|h，可记h=pq，则f=qgp^k，若p|q，则p^(k+1)|f
∴p^k|f'，这与p为f'的k-1重因式矛盾，∴(p,q)=1，即(p,qg)=1
即p为f的k重因式