Question

已知tan²α＝2tan²β＋1，求证：sin²β＋1＝2sin²α

已知tan²α＝2tan²β＋1，求证：sin²β＋1＝2sin²α
急

Answer 1

证明：由tan²α=2tan²β+1，得
sin²α/cos²α=2sin²β/cos²β+1=(2sin²β+cos²β)/cos²β
即sin²α/(1-sin²α)=(1+sin²β)/(1-sin²β)
由比例的基本性质，得
sin²α/(1-sin²α+sin²α)=(1+sin²β)/(1-sin²β+1+sin²β)
即sin²α=(1+sin²β)/2 故 sin²β=2sin²α-1

Answer 2

证明：
由tan²α=2tan²β+1，得
sin²α/cos²α=2sin²β/cos²β+1=(2sin²β+cos²β)/cos²β
即sin²α/(1-sin²α)=(1+sin²β)/(1-sin²β)
由比例的基本性质，得
sin²α/(1-sin²α+sin²α)=(1+sin²β)/(1-sin²β+1+sin²β)
即sin²α=(1+sin²β)/2 故 sin²β=2sin²α-1
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