Question

如图在等边三角形abc中，d，e，分别是bc，ac上的点，且ae等于cd，ad与be交于f，cf垂直于be（有图）

求证：（1）be等于ad（2）bf等于2af

Answer 1

(1)

△ABE & △CAD中，AE = CD & AB = AC & ∠EAB = ∠DCE = 60°，所以△ABE ≌ △CAD

=>

BE = AD

(2)

因为△ABE ≌ △CAD，所以∠1 = ∠1‘

∠3 = ∠1‘ + ∠2 = ∠1 + ∠2 = 60°

过B做BG⊥AD于G

因为 ∠3 = 60° & BG⊥AD，所以BF = 2FG

∠CBF = 60° - ∠1‘ = 60° - ∠1 = ∠2

因为∠CBF = ∠2，BG⊥AD & CF⊥BE，AB = BC，所以 △ABG ≌ △BCF

=> AG = BF

=> AG = BF = 2 FG = AF + FG

=> AF = FG

=> BF = 2AF

Answer 2

过B作AD的垂线，垂足为K
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ACB=60°
AB=AC=BC
在△ABE和△ACD中
AB=AC ，
∠BAE=∠ACD，
AE=CD ，
∴△ABE全等于△ACD（SAS）
∴AC=BC
∴EC=BD
在△ABD和△BCE中
AB=BC，
∠ABD=∠BCE，
BD=CE，
∴△ABD全等于△BCE（SAS)
所以∠BAD∠CBE，∠ADB=∠BEC
在△ADC和△AEF中
∠FAE=∠DAC，
∠AEF=∠ADC，
∴△ADC相似于△AEF
∴∠BFD=∠AEF=∠ADC=60°
∴FK=1/2BF，
∴AK=AF+FK=BF，
∴AK-FK=AF，AF:BF=1:2
这样可以么？

Answer 3

∵三角形abc为等边三角形，∴AC=BA,∠C=∠A

在三角形ADC和三角形BEA中:
AC=BC
∠C=∠A
CD=AE
∴三角形ADC≌三角形BEA（SAS)
∴be等于ad