Question

郑州大学现代远程教育高等数学试卷，采纳再给100分

Answer 1

一、1.
1) e^x-1∽x 1-cosx∽x^2/2 sinx∽x ∴极限是2
2）y=arctanx+e^x y'(x)=1/(1+x^2)+e^x y'(0)=2 切线方程：y=2x+1
3) y=x/(1+x^2)
y'=(1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2=(1-x^2)/(1+x^2)^2
y''=[-2x(1+x^2)^2-4x(1-x^2)(1+x^2)]/(1+x^2)^4
=-2(3x-x^3)/(1+x^2)^3
令y''>0,得凹区间：（-√3，0），（√3，+∞）
令y''<0,得凸区间：（0，√3），（-∞，-√3）
拐点：（-√3，-√3/4），（0，0），（√3，√3/4）
4)∫[e^(2x)+lnx]dx=1/2*e^(2x)+xlnx-x+C
5)原式=-∫[-4,0]x(1-x)dx+∫[0,1]x(1-x)dx+∫[1,4]x(x-1)dx
=[-x^2/2+x^3/3]|[-4,0]+[x^2/2-x^3/3]|[0,1]+[x^3/3-x^2/2]|[1,4]
=43
二、V=π∫[0,1]x^4dx+π∫[1,2](2-x)^2dx=8π/15
三、f(x)=ln[x+√(1+x^2)],在[0,x]连续，在（0, x)可导，
f'(x)=[1+x/√(1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]=1/√(1+x^2)]
据拉格朗日中值定理有：
存在一点ξ∈(0，x) ln[x+√(1+x^2)]=x*/√(1+ξ^2)>x/√(1+x^2)

Answer 2

一、1.
　　1) e^x-1∽x 1-cosx∽x^2/2 sinx∽x ∴极限是2
　　2）y=arctanx+e^x y'(x)=1/(1+x^2)+e^x y'(0)=2 切线方程：y=2x+1
　　3) y=x/(1+x^2)
　 　y'=(1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2=(1-x^2)/(1+x^2)^2
　 　y''=[-2x(1+x^2)^2-4x(1-x^2)(1+x^2)]/(1+x^2)^4
　　 =-2(3x-x^3)/(1+x^2)^3
　　 令y''>0,得凹区间：（-√3，0），（√3，+∞）
　　 令y''<0,得凸区间：（0，√3），（-∞，-√3）
　　 拐点：（-√3，-√3/4），（0，0），（√3，√3/4）
　　4)∫[e^(2x)+lnx]dx=1/2*e^(2x)+xlnx-x+C
　　5)原式=-∫[-4,0]x(1-x)dx+∫[0,1]x(1-x)dx+∫[1,4]x(x-1)dx
　 　=[-x^2/2+x^3/3]|[-4,0]+[x^2/2-x^3/3]|[0,1]+[x^3/3-x^2/2]|[1,4]
　　 =43
二、V=π∫[0,1]x^4dx+π∫[1,2](2-x)^2dx=8π/15
三、f(x)=ln[x+√(1+x^2)],在[0,x]连续，在（0, x)可导，
　　f'(x)=[1+x/√(1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]=1/√(1+x^2)]
　　据拉格朗日中值定理有：
　　存在一点ξ∈(0，x) ln[x+√(1+x^2)]=x*/√(1+ξ^2)>x/√(1+x^2)

Answer 3

自己做的才是学到的。。

Answer 4