Question

为什么多元函数在一点偏导数连续是在该点可微的充分条件而不是充要条件?

如题，最好能举个例子。

Answer 1

偏导存在不能保证在该点连续
如
f(x,y)=xy/(x^2+y^2), x^2+y^2不等于零时；
f(x,y)=0, x^2+y^2=0时
而可微在该点必定连续

追问

不，我说的是偏导连续

追答

高数书上就有啊

偏导数连续可以推出可微分，就是充分条件，这一点应该好理解吧

由函数在点（x,y）可微分只能推出该函数在点（x,y）的偏导数存在，注意某点的偏导数存在并不能保证偏导数在此点连续，所以不是必要条件

而当函数的个偏导数都存在时，虽然能写出 偏z/偏x△x+偏z/偏y△y，但它与△z之差并不一定是较ρ高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。

例如，函数
xy/√(x^2+y^2) ， x^2+y^2≠0，
f(x,y)=
0， x^2+y^2=0
在点（0,0）处有fx(0,0)=0及fy(0,0)=0，所以
△z-[fx(0,0)△x+fy(0,0)△y]=△x△y/√(△x^2+△y^2)
如果考虑点P'(△x,△y)沿着直线y=x趋于（0,0），则
△x△y/√(△x^2+△y^2) /ρ=△x△y/(△x^2+△y^2)=△x△x/(△x^2+△x^2)=1/2
它不能随ρ→0而趋于0，这表示ρ→0时，
△z-[fx(0,0)△x+fy(0,0)△y]
并不是较ρ高阶的无穷小，因此函数在点(0,0)处的全微分并不存在，即函数在点（0,0）处是不可微分的。
所以偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件

追问

感谢你的回答，可是你没仔细看我的问题，我的意思是为什么在某点全微分存在不能推出偏导连续？注意是偏导连续，不是偏导存在。

Answer 2

其实楼上的解释是有道理的，函数在一点偏导连续是在该店可微的充分条件就不说了。
函数可微只能证明在该点偏导数存在，却不能证明连续。我看了下他的例子，应该是可以的