Question

已知函数f(x)=(x²+bx+b)√1－2x(b∈R)

1.当b=4时，求f(x)的极值
2.若f(x)在区间(0，1/3)上单调递增，求b的取值范围

Answer 1

（1） f(x)'=-5x(x+2)/根号下1-2x ，由f(x)‘=0得x=-2或x=0
当x＜-2时f(x)’＜0 f(x)单调递减
当-2＜x＜0 f(x)'＞0 单调递增
当0＜x＜1/2 f(x)'＜0 单调递减
所以f(x)在x=-2处取最小值0 在x=0处取最大值4
（2） f(X)'=-x[5x+(3b-2)]/根号下1-2x因为当在(0，1/3)时 -x/根号下1-2x＜0
依题意x∈（0,1/3）时 有5x+(3b-2)≤0 从而5/3+(3b-2)≤0
所以 b∈（负无穷，1/9)

Answer 2

令1-2x=t 则x=(1-t)/2 ∴f(t)=1/4[t²-(2+2b)t+6b+1]
(1)b=4 f(t)=1/4(t-5)²; （t≥0）极小值为0
（2）x∈(0,1/3) ∴t∈(1/3,1) 单调递减函数 ∴（2+2b)/2≥1 ∴b≥0