Question

【高等数学】空间曲面积分的公式、与雅可比式是否有联系。

比如对球坐标下、雅克比式为r^2sinθ
对于半径为R的球面、上述公式（sqrt(EG-F^2)）求出来的结果与雅可比式在r=R式相同、即R^2sinθ
这样是一种巧合、还是必然。
就是对任意的广义弧坐标、是否两个公式都可以得出等价的效果？最好能给出证明？
自己又想了下、发现是不正确的。

但是矢量分析里面积微元可以按照坐标微元展开、如半径为R的球、da=Rdθ * Rsinθdθ=
与雅克比式无关、那么、如何直接证明最开始的公式、与微元替换的公式等价呢？

Answer 1

dS=√[1+(αz/αx)^2+(αz/αy)^2]dxdy，dxdy=|J|dudv，J是雅可比行列式，J=α(x,y)/α(u,v)。
把αz/αx与αz/αy用x,y,z对u,v的偏导数表示出来，结合两个公式，dS=.....dxdy=...dudv就是书上结果。