Question

关于一元二次方程的问题！高手进！

一元二次方程的根与系数有什么关系？
为什么有这种关系？
若能推导请写出推导过程,谢谢！

Answer 1

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中

设两个根为X1和X2

则X1+X2= -b/a

X1*X2=c/a
设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
有:a(x-x1)(x-x2)=0
所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通过对比系数可得：
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，∏是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

Answer 2

首先我们知道求根公式：
ax^2+bx+c=0的两根为x=[-b±根号(b^2+4ac)]÷2a
也就是说它的两根为[-b+根号(b^2+4ac)]÷2a和[-b-根号(b^2+4ac)]÷2a

所以两根和为-b÷a，两根积为c÷a
这个就是所谓的根与系数的关系，也就是韦达定理

Answer 3

中学数学里的根与系数之间的关系又称韦达定理，指的是如果方程ax平方+bx+c=0（a不等于0）的两根为x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.需要说明的是，必须保证满足：（1）a不等于0，（2）判别式大于等于0.

用求根公式来证明就可以了.
证明：设ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1,x2，（b^2-4ac≥0）
x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a
x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a
∴x1+x2=[-b+√(b^2-4ac)]/2a+[-b-√(b^2-4ac)]/2a
=-b/a
x1*x2=[-b+√(b^2-4ac)]/2a*[-b-√(b^2-4ac)]/2a
=c/a

Answer 4

假设一元二次方程为x^2+bx+c=0 根为x1 x2
则x1+x2=-b x1x2=c
推导 x1 x2为2根
则方程可以写成(x-x1)(x-x2)=0
x^2-(x1+x2)x+x1x2=0
根据对应项系数相等
-(x1+x2)=b x1x2=c
所以x1+x2=-b x1x2=c

Answer 5

设一元二次方程为ax^2+bx+c=0(a不等于0)，且它有两个根x1,x2:
有韦达定理：x1+x2=-b/a x1*x2=c/a
具体过程根据求根公式算。