两个关于矩阵的问题
如果一个实矩阵满足对角元大于0,其余元均小于0,且每一行和为0,求其秩A和B是实矩阵,且存在C和D,使C‘AC=B,D’BD=A,则A与B有相同规范型...
如果一个实矩阵满足对角元大于0,其余元均小于0,且每一行和为0,求其秩
A和B是实矩阵,且存在C和D,使C‘AC=B,D’BD=A,则A与B有相同规范型 展开
A和B是实矩阵,且存在C和D,使C‘AC=B,D’BD=A,则A与B有相同规范型 展开
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1.设该矩阵为M,n行n列。由于该矩阵的元素性质,他的左上角的n-1行n-1列的子矩阵是严格对
角占优的(即对角元的绝对值大于该行其他元的绝对值的和,严格对角占优的矩阵非退化),从而
M的秩>=n-1.
但e=(1,1,...,1)',M*e=0,从而M的秩小于n,为n-1.
2.r(A)=r(D’BD)<=r(B),r(B)=r(C‘AC)<=r(A),所以r(A)=r(B)=r。
设A=G'A1G,B=H'B1H,其中A1,B1对角阵为A,B的规范型,前r个对角元非零,G,H非退化。
他们左上角的非零r阶子阵记为A2,B2.则由C‘AC=B,(GC)'A1GC=H'B1H,
(GCH^(-1))'A1GCH^(-1)=B1,
对GCH^(-1)分块,GCH^(-1)=(E1,E2;E3,E4),E1为r行r列子阵,则上式左上角为
E1'A2E1=B2,取行列式|E1||A2||E1|=|B2|,E1非退化
从而A2,B2有相同规范型,A1,B1有相同规范型,A,B有相同规范型
角占优的(即对角元的绝对值大于该行其他元的绝对值的和,严格对角占优的矩阵非退化),从而
M的秩>=n-1.
但e=(1,1,...,1)',M*e=0,从而M的秩小于n,为n-1.
2.r(A)=r(D’BD)<=r(B),r(B)=r(C‘AC)<=r(A),所以r(A)=r(B)=r。
设A=G'A1G,B=H'B1H,其中A1,B1对角阵为A,B的规范型,前r个对角元非零,G,H非退化。
他们左上角的非零r阶子阵记为A2,B2.则由C‘AC=B,(GC)'A1GC=H'B1H,
(GCH^(-1))'A1GCH^(-1)=B1,
对GCH^(-1)分块,GCH^(-1)=(E1,E2;E3,E4),E1为r行r列子阵,则上式左上角为
E1'A2E1=B2,取行列式|E1||A2||E1|=|B2|,E1非退化
从而A2,B2有相同规范型,A1,B1有相同规范型,A,B有相同规范型
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