Question

两个关于矩阵的问题

如果一个实矩阵满足对角元大于0，其余元均小于0，且每一行和为0，求其秩
A和B是实矩阵，且存在C和D，使C‘AC＝B，D’BD＝A，则A与B有相同规范型

Answer 1

1.设该矩阵为M，n行n列。由于该矩阵的元素性质，他的左上角的n-1行n-1列的子矩阵是严格对

角占优的（即对角元的绝对值大于该行其他元的绝对值的和，严格对角占优的矩阵非退化），从而

M的秩>=n-1.

但e=(1,1,...,1)',M*e=0,从而M的秩小于n，为n-1.

2.r(A)=r(D’BD)<=r(B),r(B)=r(C‘AC)<=r(A),所以r(A)=r(B)=r。

设A=G'A1G,B=H'B1H,其中A1,B1对角阵为A,B的规范型，前r个对角元非零，G,H非退化。

他们左上角的非零r阶子阵记为A2,B2.则由C‘AC＝B,(GC)'A1GC＝H'B1H,

(GCH^(-1))'A1GCH^(-1)＝B1,

对GCH^(-1)分块,GCH^(-1)=(E1,E2;E3,E4),E1为r行r列子阵，则上式左上角为

E1'A2E1=B2,取行列式|E1||A2||E1|=|B2|,E1非退化

从而A2,B2有相同规范型，A1,B1有相同规范型，A,B有相同规范型