Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h 3 =0，可得结论：h 1 +h 2 +h 3 =h．在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h 1 、h 2 、h 3 、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 -h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 -h 3 =h；（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h 1 、h 2 、h 3 、h 4 ，桥形的高为h，则h 1 、h 2 、h 3 、h 4 、h之间的关系为：h 1 +h 3 +h 4 = mh m-n ．图（4）与图（6）中的等式有何关系．

Answer 1

（1）图②-⑤中的关系依次是： h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 -h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 -h 3 =h；（4分） （2）图②中，h 1 +h 2 +h 3 =h． 证法一： ∵h 1 =BPsin60°，h 2 =PCsin60°，h 3 =0，（6分） ∴h 1 +h 2 +h 3 =BPsin60°+PCsin60° =BCsin60° =ACsin60° =h．（8分） 证法二：连接AP，则S △APB +S △APC =S △ABC ．（6分） ∴ 1 2 AB× h 1 + 1 2 AC× h 2 = 1 2 BC×h ． 又h 3 =0，AB=AC=BC， ∴h 1 +h 2 +h 3 =h；（8分） 证明：（3）图④中，h 1 +h 2 +h 3 =h． 过点P作RS ∥ BC与边AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中，由图②中结论知：h 1 +h 2 +0=h-h 3 ． ∴h 1 +h 2 +h 3 =h．（10分） 说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分； （4）由（3）可知：h 1 +h 3 +h 4 = mh m-n ．（11分） 让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．（12分）