Question

已知函数f(x)＝lnx?mx+1?mx(m∈R)（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当m

已知函数f(x)＝lnx?mx+1?mx(m∈R)（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当m≤14时，讨论f（x）的单调性；（3）设g（x）=x2-2x+n．当m＝112时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数n的取值范围．

Answer 1

（1）当m=2时，f（x）=lnx-2x-

1

x

（x∈（0，+∞））
因此f（1）=-3，f′（x）=

1

x

-2+

1

x2

，切线斜率k=f′（1）=0
所以切线方程为y=-3
（2）f′（x）=

1

x

-m+

m?1

x2

=

?mx2+x+m?1

x2

令h（x）=-mx²+x+m-1（x∈（0，+∞））
当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1
∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（

1

m

-1）]，
当m＜0时，

1

m

-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
0＜m≤

1

4

时，0＜1＜

1

m

-1，f（x）在（0，1），（

1

m

-1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，

1

m

-1）上是增函数
（3）当m＝

1

12

时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，2）上是增函数
∴对任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=

5

6

又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以g（x₂）≤

5

6

，x₂∈[1，2]，
即存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤

5

6

 即n-1≤

5

6

解得n≤

11

6