Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+acosB=2ccosC，△ABC的面积为 4 3

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+acosB=2ccosC，△ABC的面积为 4 3 ．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=2，求边长c．

Answer 1

（Ⅰ）∵bcosA+acosB=2ccosC，① 由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分） 将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC， 化简，得sin（A+B）=sinC=2sinCcosC．（5分） ∵sinC≠0， ∴ cosC= 1 2 ， ∴ C= π 3 ．（7分） （Ⅱ）∵△ABC的面积为 4 3 ， ∴ 1 2 absinC=4 3 ， ∴ab=16． 又∵a=2， ∴b=8． 由余弦定理得 cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab ， 即 2 2 + 8 2 - c 2 2×16 = 1 2 ， ∴ c=2 13 ．（12分）