若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn=1-2an，记bn＝log12an．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）求数
若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn=1-2an，记bn＝log12an．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）若cn+1-c...
若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn=1-2an，记bn＝log12an．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）若cn+1-cn=bn，c1=0，求证：对任意n≥2，n∈N*都有1c2+1c3+…+1cn＜34．
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（Ⅰ）解：由6S1=1-2a1，得6a1=1-2a1，解得a1＝
． …（1分）
6S2=1-2a2，得6（a1+a2）=1-2a2，解得a2＝
． …（3分）
（Ⅱ）解：由6Sn=1-2an…①，
当n≥2时，有6Sn-1=1-2an-1…②，…（4分）
①-②得：
＝
，…（5分）
∴数列{an}是首项a1＝
，公比q＝
的等比数列 …（6分）
∴an＝a1qn?1＝
×(
)n?1＝(
)2n+1，…（7分）
∴bn＝log
an＝log
(
)2n+1＝2n+1． …（8分）
（Ⅲ）证明：∵cn+1-cn=bn=2n+1，∴cn-cn-1=bn-1=2（n-1）+1，（n≥2）…（1）
cn-1-cn-2=bn-2=2（n-2）+1，…（2）
…，
c3-c2=b2=2×2+1，
c2-c1=b1=2×1+1，…（n-1）…（9分）
（1）+（2）+…+（n-1）得cn?c1＝bn?1＝2(1+2+3+…+n?1)+n?1＝n2?1，（n≥2）…（10分）
∴cn=（n-1）（n+1），（n≥2），
当n=1时，c1=0也满足上式，
∴cn=（n-1）（n+1）…（11分）
∴
＝
＝
(
?
)，…（12分）
∴
+
+…+
＝
(1?
+
| 1 |
| 8 |
6S2=1-2a2，得6（a1+a2）=1-2a2，解得a2＝
| 1 |
| 32 |
（Ⅱ）解：由6Sn=1-2an…①，
当n≥2时，有6Sn-1=1-2an-1…②，…（4分）
①-②得：
| an |
| an?1 |
| 1 |
| 4 |
∴数列{an}是首项a1＝
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
∴an＝a1qn?1＝
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴bn＝log
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）证明：∵cn+1-cn=bn=2n+1，∴cn-cn-1=bn-1=2（n-1）+1，（n≥2）…（1）
cn-1-cn-2=bn-2=2（n-2）+1，…（2）
…，
c3-c2=b2=2×2+1，
c2-c1=b1=2×1+1，…（n-1）…（9分）
（1）+（2）+…+（n-1）得cn?c1＝bn?1＝2(1+2+3+…+n?1)+n?1＝n2?1，（n≥2）…（10分）
∴cn=（n-1）（n+1），（n≥2），
当n=1时，c1=0也满足上式，
∴cn=（n-1）（n+1）…（11分）
∴
| 1 |
| cn |
| 1 |
| (n?1)(n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n?1 |
| 1 |
| n+1 |
∴
| 1 |
| c2 |
| 1 |
| c3 |
| 1 |
| cn |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
