Question

已知函数f(x)＝sin2ωx+3cosωxsinωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若将

已知函数f(x)＝sin2ωx+3cosωxsinωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若将函数y=f（x）的图象向右平移π12个单位长度，再将所得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

（1）由题知f(x)＝sin2ωx+

3

cosωxsinωx＝

3

2

sin2ωx?

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

)+

1

2

，
又f（x）的最小正周期为π．所以

2π

2ω

＝π，所以，ω=1．
（2）由（1）知f(x)＝sin(2x?

π

6

)+

1

2

，将f(x)＝sin(2x?

π

6

)+

1

2

的图象向右平移

π

12

个单位长度，
得到的图象C₁对应的函数解析式为f1(x)＝sin(2x?

π

3

)+

1

2

，再将图象C₁上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），
得到的图象C对应的函数解析式为y＝g(x)＝sin(

1

2

x?

π

3

)+

1

2

．
由2kπ+

π

2

＜

1

2

x?

π

3

＜2kπ+

3

2

π（k∈Z），得4kπ+

5

3

π＜x＜4kπ+

11

3

π，
所以函数g（x）的单调递减区间为(4kπ+

5

3

π，4kπ+

11

3

π)（k∈Z）．