Question

已知函数f（x）=lnx-ax．（1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小

已知函数f（x）=lnx-ax．（1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值；（3）若f（x）＞x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-

a

x

，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝

1

x

+

a

x2

＝

x+a

x2

，
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）由（1），当a≥0时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

，不舍题意，舍；
当-e＜a＜0时，f（x）在[1，-a]上单调递减，在[-a，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，解得a=-

e

；
当a＜-e时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

，不合题意，舍；
综上所述，a=-

e

．
（3）∵f(x)＜x2?lnx?

a

x

＜x2，∴a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，则g′（x）=lnx+1-3x²，g″(x)＝

1

x

?6x＝

1?6x2

x

，
当x＞1时，g''（x）＜0，∴g′（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g′（x）＜g′（1）=2＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（1）=-1．
∴a≥-1．