Question

如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5．求四边形ABCD的面积

如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5．求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：作点A关于CD的对称点E，连接DE，CE，BE，
则有AD=ED=3，∠1=∠ADC=30°，
故∠ADE=2∠ADC=60°，
则△ADE为等边三角形，
故AE=DE=AD=3，∠DAE=∠2=60°，CD⊥AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+∠CAE=∠DAE+∠CAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中
∵

AB＝AC ∠BAE＝∠CAD AE＝AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠3=∠ADC=30°，BE=CD，
∴∠BED=∠3+∠2=30°+60°=90°，
∴CD=BE=

BD2?DE2

=

52?32

=4，
在△AEB中，由余弦定理，则：
AB²=AE²+BE²-2×AE×BE×cos∠3
=3²+4²-2×3×4×cos30°
=25-12

3

，
则S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ABC+

1

2

S_{四边形ACED}
=

1

2

×AB×AC×sin∠BAC+

1

2

×

1

2

×AE×CD
=

1

2

（25-12

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