Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π．

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）若sinα-f（α）=23，求2sin(2α-π4)+11+tanα的值．

Answer 1

（1）由题意函数图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π，可得函数的周期为2π=

2π

ω

，求得ω=1．
再根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，可得φ=kπ+

π

2

，k∈z，
∴φ=

π

2

，f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）∵sinα-f（α）=

2

3

，即 sinα-cosα=

2

3

．
平方可得 2sinαcosα=

5

9

，
∴

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

=

2 sin2αcos π 4 - 2 cos2αsin π 4 +1

cosα+sinα cosα

=

cosα(2sinαcosα+2sin2α)

cosα+sinα

=2sinαcosα=

5

9

．