Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB．（1）求证：直线CP

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB．（1）求证：直线CP与⊙O相切；（2）若AB=10，AD=8，求DE的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
又∵∠OAC=∠DAC，
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP，
∴直线CP与⊙O相切．

（2）解：连接BE交OC于F，
设DE=x；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥EB，
又∵OC∥AD，
∴OC⊥EB；
又∵AE⊥CP，即∠EDC=90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴CF=DE=x；
∵OC⊥EB，
∴点F是EB的中点；
又∵点O是AB的中点，
∴OF=

1

2

AE；
∵OF=5-x，
∴5-x=

1

2

（8-x），
∴x=2，
即DE=2．