Question

求第42题过程，谢谢，第二问要用几何方法证明。。。

Answer 1

证明　法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB＝AA1＝根2

∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．

由向量A1B1=向量AB，易得B1(－1,1,1)．

因为向量A1C＝(－1,0，－1)，向量BD＝(0，－2,0)，向量BB1=＝(－1,0,1)

向量A1C*向量BD=0 向量A1C*BB1=0

∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，A1C⊄平面BB1D1D，
∴A1C⊥平面BB1D1D.

法二：几何法，图还是上面的

∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.
又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝根2 且AC＝2

∴AC2＝＋A1C2，
∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.
又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，
∴A1C⊥平面BB1D1D.

(2)设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)

向量OC＝(－1,0,0)，向量OB1＝(－1,1,1)，

设法向量为向量n

n*向量OC=-x=0

n*OB1=-x+y+z=0

解之得x=0，y=-z

取n＝(0,1，－1)，由(1)知向量A1C＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量

∴cos θ＝|cos〈n，A1C〉|＝1/根2*根2=1/2

又∵0≤θ≤π/2 ∴θ＝π/3

采纳吧，很幸苦的说。。。

追问

第二问能用几何法求面面角吗？

追答

啊啊啊啊啊啊啊啊，题主第二小问用几何法我算出来了，要解释么？
我告诉你思路吧，做BM，CM交于M且BMCM垂直于OB1
可以证得BOB1全等于COB1
A1O垂直于底面

图中可推得A1A=A1B1=BB1=AB AA1BB1是菱形

A1o=Ao=1

OB=根3

推得OB垂直于BB1

根据OB*BB1=OB*BM
BM=根6/3
BM=CM---
BMCM夹角为或180-θ
由余弦定理得BMCM夹角为120

0≤θ≤π/2所以θ=60
上面每部可证得的，只是个大概思路

追问

这不是用向量算出的么？

追答

向量与几何结合。。。而且大部分都是几何，向量法只是最后算个角度而已，你不要太纠结。。