Question

如图1，在?ABCD中，∠BCD的平分线交直线AD于点F，∠BAD的平分线交DC延长线于E．（1）在图1中，证明AF=EC

如图1，在?ABCD中，∠BCD的平分线交直线AD于点F，∠BAD的平分线交DC延长线于E．（1）在图1中，证明AF=EC；（2）若∠BAD=90°，G为CF的中点（如图2），判断△BEG的形状，并证明．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC ∥ AD，∠BAD=∠BCD， ∵∠BCD的平分线CF，∠BAD的平分线AM， ∴∠4= 1 2 ∠BAD，∠2=∠3= 1 2 ∠BCD， ∴∠2=∠3=∠4， ∵BC ∥ AD， ∴∠1=∠4， ∴∠1=∠2， ∴AM ∥ CF， 即AE ∥ CF，AE≠CF， ∴四边形AECF是梯形， ∵AM ∥ CF， ∴∠3=∠E=∠4， ∴梯形AECF是等腰梯形， ∴AF=CE； （2）△BEG是等腰直角三角形， 证明：连接AG，过G作GN ∥ BC交AB于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC ∥ AD，∠CBN=90°， ∴∠GNB=90°，BC ∥ GN ∥ AD， ∵G为CF的中点， ∴N为AB中点， 即NG是AB的垂直平分线， ∴BG=AG， ∴∠BGN=∠AGN， ∵NG ∥ AD， ∴∠AGN=∠GAF=∠BGN， ∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°， ∴∠DCF=90°，∠DCF=45°， ∴∠DFC=45°， ∴∠ECG=∠AFC=90°+45°=135°， 在△AFG和△ECG中 ∵ AF=CE ∠AFG=∠ECG FG=CG ， ∴△AFG≌△ECG（SAS）， ∴AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC， ∵∠AGN=∠GAF=∠BGN， ∴∠AGN=∠GAF=∠BGN=∠GEC， ∵∠GAF+∠AGF=180°-135°=45°， ∴∠EGC+∠BGF=2（∠GAF+∠AGF）=90° ∴△BEG是等腰直角三角形．