Question

已知函数f（x）=ex+ax-2（1）若a=-1，求函数f（x）在区间[-1，1]的最小值；（2）若a∈R讨论函数f（x）在

已知函数f（x）=ex+ax-2（1）若a=-1，求函数f（x）在区间[-1，1]的最小值；（2）若a∈R讨论函数f（x）在（0，+∞）的单调性；（3）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，都有x2[f（x1）+a]＜x1[f（x2）+a]成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=e^x-x-2，f′（x）=e^x-1；
∴-1≤x＜0时，f′（x）＜0；0＜x≤1时，f′（x）＞0；
∴x=0时f（x）取最小值f（0）=-1．
∴函数f（x）在区间[-1，1]的最小值是-1．
（2）f′（x）=e^x+a；
∴①当a≥-1时，∵x＞0，∴e^x＞1，∴e^x+a＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜-1时，0＜x＜ln（-a）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，ln（-a））上单调递减；
x＞ln（-a）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在[ln（-a），+∞）上单调递增．
（3）由已知条件得：

&

;f(x1)+ax1＜

f(x2)+a

x2

；
令g（x）=

f(x)+

&

;ax=

ex+ax?2+a

x

，则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴f′（x）=

xex?ex+2?a

x2

≥0；
∴xe^x-e^x+2-a≥0；
令h（x）=xe^x-e^x，∴h′（x）=xe^x＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴h（x）＞h（0）=-1；
∴2-a≥1；
∴a≤1．
∴a的取值范围是（-∞，1]．