Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E，垂足为O．（1）求证：四边形AFCE为菱形

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E，垂足为O．（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形AFCE的面积．

Answer 1

（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FOC，AOE=∠COF，
∴在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FOC AO＝CO ∠AOE＝∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为菱形；（6分）
（2）设AF=x，
∵AB=4，BC=8，∴BF=8-x，
∴AF²=AB²+BF²，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，
∴S_菱形AFCE=FC?AB=5×4=20，
∴菱形面积为20．（2分）