Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；（2）若对?x

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；（2）若对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜169恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)＝3ax2?8ax+4a＝3a(x?

2

3

)(x?2)．
令f′（x）=0，解得3a(x?

2

3

)(x?2)＝0，
∴x＝

2

3

或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在x＝

2

3

时取得极大值，
∴f(

2

3

)＝

32

27

a＝32，a＝27．
（2）由f′(x)＝3a(x?

2

3

)(x?2)知：
当a＞0时，函数f（x）在[?2，

2

3

]上是增函数，在[

2

3

，1]上是减函数．
此时，ymax＝f(

2

3

)＝

32

27

a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

．
当a＜0时，函数f（x）在[?2，

2

3

]上是减函数，在[

2

3

，1]上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此时，y_max=f（-2）=-32a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴?32a＜

16

9

得a＞?

1

18

，
∴?

1

18

＜a＜0．
故所求实数的取值范围是(?

1

18

，0)∪(0，

3

2

)．