Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，（1）求角A；（2）求△ABC周长的取

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，（1）求角A；（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

（1）2acosC+c=2b，利用正弦定理2sinAcosC+sinC=2sinB，
将sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入得sinC=2cosA sinC，
即cosA＝

1

2

，A＝

π

3

（6分）
（2）由

b

sinB

＝

c

sinC

＝

a

sinA

＝

2

3

得，l△ABC＝

2

3

(sinB+sinC)+1，
将C＝

2π

3

?B代入化简得l△ABC＝2sin(B+

π

6

)+1，因为

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

所以周长的取值范围是（2，3]（12分）

Answer 2

cosc=（2b-c）/2=（a^2+b^2-c^2）/2ab
化简后得到：（b+c）^2-1=3bc
根据基本不等式：bc≤[（b+c）/2]^2
得出：b+c≤2
又三角形两边之和大于第三边，则b+c〉a=1
因此1〈b+c≤2，进而2〈a+b+c≤3
故周长取值范围为（2，3]请采纳回答