Question

设函数f（x）=x2-|x2-ax-9|（a为实数），在区间（-∞，-3）和（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为

设函数f（x）=x2-|x2-ax-9|（a为实数），在区间（-∞，-3）和（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

令函数g（x）=x²-ax-9，由于g（x）的判别式△=a²+36＞0，故函数g（x）一定有两个零点，
设为 x₁ 和x₂，且 x₁＜x₂．
∵函数f（x）=x²-|x²-ax-9|=

ax+9 ， x＜x1或x＞x2 2x2?ax?9 ，x1≤x≤x2

，故当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，
函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，
当x∈（x₁，x₂ ）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x²-ax-9 下凹的一部分，且各段连在一起．
由于f（x）在区间（-∞，-3）和（3，+∞）上单调递增，∴a＞0．
再由y=2x²-ax-9的对称轴为 x=

a

4

，且-3≤

a

4

≤3，可得-12≤a≤12．
综上可得，0＜a≤12，故实a的取值范围为 （0，12]，
故答案为 （0，12]．