Question

证明1/n^2级数的收敛性

Answer 1

具体回答如下：

柯西准则：

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

Answer 2

这个题要用Dirichlet判别法证明。
取un(x)=(-1)^(n-1), vn(x)=1/(n+x^2)。 则 |求和{k=1,n}uk(x)|<=1在整个实数轴上一致有界；vn(x)对任意实数单调递减，在整个实数轴上一致收敛于0.根据Dirichlet判别法
求和{n=1,无穷大}un(x)*vn(x)=求和{n=1,无穷大}((-1)^(n-1))/(n+x^2)在实数轴上一致收敛。
但是， 求和{n=1,无穷大}|un(x)*vn(x)|=求和{n=1,无穷大}1/(n+x^2)在实数轴上发散，
所以，求和{n=1,无穷大}un(x)*vn(x)=求和{n=1,无穷大}((-1)^(n-1))/(n+x^2)不是绝对收敛的。

当 x^2>0时，级数 求和{n=1,无穷大}x^2/(1+x^2)^n 是公比小于1的正项等比级数，绝对收敛。
设 S(x)=求和{n=1,无穷大}x^2/(1+x^2)^n=x^2*(求和{n=1,无穷大}1/(1+x^2)^n)
=x^2*[1/(1+x^2)/(1- 1/(1+x^2)]=1
而 S(0)=0.
即 和函数 S(x)在x=0不连续。因为一致收敛级数的和函数一定是连续的，所以这个级数不是一致收敛的。

Answer 3