Question

定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性

定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（k?3 x ）+f（3 x -9 x -2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0． 令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x）， 又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）． 即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．--------------（4分） （2）f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数． ∵f（k?3 x ）＜-f（3 x -9 x -2）=f（-3 x +9 x +2）， ∴k?3 x ＜-3 x +9 x +2， ∴3 2x -（1+k）?3 x +2＞0对任意x∈R成立． 令t=3 x ＞0，问题等价于t 2 -（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．--------------------（6分） 令g（t）=t 2 -（1+k）t+2，其对称轴为 x= 1+k 2 当 1+k 2 ＜0 ，即k＜-1时，f（0）＞2，符合题意； 当 1+k 2 ≥0 ，即k≥-1时，则△=（1+k） 2 -4×2＜0，∴ -1≤k＜-1+2 2 综上， k＜-1+2 2 --------------------------（12分）