Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有： f(x)= 2 x 4 x +1

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有： f(x)= 2 x 4 x +1 ．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1） ∵?x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4 x +1 ， ∴x∈（-1，0）时，有 f(x)=-f(-x)=- 2 -x 4 -x +1 =- 2 x 4 x +1 ..（3分） 在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）?f（0）=0．（5分） 综上：当x∈（-1，1）时，有： f(x)= 2 x 4 x +1 ，x∈(0，1) - 2 x 4 x +1 ，x∈(-1，0) 0，x∈{0} （7分） （2）f（x）在（0，1）上是减函数（8分） 证明：设0＜x 1 ＜x 2 ＜1则x 2 -x 1 ＞0，0＜x 1 +x 2 ＜2，∴ 2 x 1 + x 2 ＞1， 2 x 2 ＞ 2 x 1 ．（10分） ∴ f( x 2 )-f( x 1 )= 2 x 2 4 x 2 +1 - 2 x 1 4 x 1 +1 = ( 2 x 1 - 2 x 2 )( 2 x 1 + x 2 -1) ( 4 x 1 +1)( 4 x 2 +1) ＜0 （13分） ∴f（x 2 ）＜f（x 1 ） ∴f（x）在（0，1）上是减函数（14分）