Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，f(x)＝|1?1x0x＞0；，x＝0.（1）求f（x）在（-∞，0）上

设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，f(x)＝|1?1x0x＞0；，x＝0.（1）求f（x）在（-∞，0）上的解析式．（2）请你作出函数f（x）的大致图象．（3）当0＜a＜b时，若f（a）=f（b），求ab的取值范围．（4）若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，求b，c满足的条件．

Answer 1

（1）当x∈（-∞，0）时，f(x)＝f(?x)＝|1?

1

?x

|＝|1+

1

x

|．…（4分）
（2）f（x）的大致图象如下：．
…（8分）
（3）因为0＜a＜b，所以f（a）=f（b）?|1?

1

a

|＝|1?

1

b

|?(1?

1

a

)2＝(1?

1

b

)2?

1

a

+

1

b

＝2，…（11分）?a+b＝2ab＞2

ab

解得ab的取值范围是（1，+∞）．…（13分）
（4）由（2），对于方程f（x）=a，当a=0时，方程有3个根；当0＜a＜1时，方程有4个根，当a≥1时，方程有2个根；当a＜0时，方程无解．…（15分）
所以，要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一个在区间（0，1）的正实数根和一个等于零的根．
所以c=0，f（x）=-b∈（0，1），即-1＜b＜0，c=0．…（18分）