Question

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE平分∠OBA，CF⊥BE于F，交OB于G．（1）求证：OE=OG．（

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE平分∠OBA，CF⊥BE于F，交OB于G．（1）求证：OE=OG．（2）若E在O、A两点之间运动（不与O、A重合），CF保持与BE的垂直关系，那么OE与OG还相等吗？（不需要证明）

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD中，BE平分∠OBA，
∴∠OBE=22.5°，
∵AC⊥BD，CF⊥BE，
∴∠OCG=22.5°，
∴∠OBE=∠OCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOE=∠COG=90°，
在△OBE和△OCG中，

∠OBE＝∠OCG OB＝OC ∠BOE＝∠COG＝90°

，
∴△OBE≌△OCG（ASA），
∴OE=OG；

（2）解：OE=OG．
理由如下：∵AC⊥BD，CF⊥BE，
∴∠OCG+∠OEB=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠OBE=∠OCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOE=∠COG=90°，
在△OBE和△OCG中，

∠OBE＝∠OCG OB＝OC ∠BOE＝∠COG＝90°

，
∴△OBE≌△OCG（ASA），
∴OE=OG．