Question

已知函数f（x）满足：对任意的实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．（1）证明：

已知函数f（x）满足：对任意的实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．（1）证明：函数f（x）在R上单调递增；（2）若f(3m)＜f(33)，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增． 
（2）由（1）知，函数f（x）在R上单调递增，
∵f(3m)＜f(3

3

)，
∴3m＜3

3

，即3m＜3

3

2

，解得m＜

3

2

，
∴实数m的取值范围为(?∞，

3

2

)．