Question

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．（1）求卫星环绕地球

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；（3）由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出密度表达式．

Answer 1

（1）重力等于向心力
mg=m

v 2 1

R

解得
v₁=

gR

即卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v₁为

gR

．
（2）若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
mg=G

mM

R2

         ①
卫星受到的万有引力等于向心力
G

m′M

r2

=m′

4π2

T2

r   ②
由①②两式解得
r=

3	gR2T2 4π2

即卫星运行半径r为

3	gR2T2 4π2

．
（3）由①式解得
M=

gR2

G

因而
ρ=

M

V

＝

gR2 G

4 3 πR3

＝

3g

4πGR

即地球的密度为

3g

4πGR

．