Question

设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-2a1，Sn，2an+1成等差数列．（1）当a1=2时，求{an}的

设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-2a1，Sn，2an+1成等差数列．（1）当a1=2时，求{an}的通项公式；（2）当a1=2时，设bn=log2 （an2）-1，若对于n∈N*，1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1＜k恒成立，求实数k的取值范围；（3）设cn=Sn+1，问：是否存在a1，使数列{cn}为等比数列？若存在，求出a1的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵-2a₁，S_n，2a_n+1成等差数列
∴2S_n=-2a₁+2a_n+1，
∴S_n=a_n+1-a₁，…①
当n≥2时，S_n-1=a_n-a₁，…②
两式相减得：a_n=a_n+1-a_n，
即a_n+1=2a_n，------（2分）
当n=1时，S₁=a₂-a₁，即a₂=2a₁，
适合a_n+1=2a_n，-------------（3分）
所以数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列，
所以a_n=2ⁿ---------------------------------------------------（4分）
（2）由（1）得a_n=2ⁿ，所以b_n=log₂ （a_n²）-1=2n-1
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n?1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
∵n∈N*，
∴

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

若对于n∈N*，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜k恒成立，
∴k≥

1

2

-----------------（8分）
（ 3）由（1）得数列{a_n}是以a₁为首项，以2为公比的等比数列
所以c_n=S_n+1=

a1(1?2n)

1?2

+1=a₁×2ⁿ-a₁+1--------------------------（10分）
要使{c_n}为等比数列，当且仅当-a₁+1=0
即a₁=1
所以存在a₁=1，使{c_n}为等比数列--------------------------------（12分）