Question

椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF2|，|

椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求证：b=c；（2）设点p（0，-1）在线段AB的垂直平分线上，求椭圆C的方程．

Answer 1

解答：（1）证明：由题设，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，，
所以，|AB|=

4

3

a．（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）（2分）
∴y1+y2＝

2b2c

a2+b2

，y1y2＝

?b4

a2+b2

∴|AB|²=(x1?x2)2+(y1?y2)2=2(y1?y2)2=2[(y1+y2)2?4 y1y2]
=2[(

2b2c

a2+b2

)2+

4b4

a2+b2

]=

2

(a2+b2)2

4b4[c2+a2+b2]=

8b4

(a2+b2)2

?2a2
于是有

4a

3

＝

4b2

a2+b2

?a，（4分）
化简，得a=

2

b，故b=c． （1分）
（2）解：由（1）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0    （1分）
设AB中点为M（x₀，y₀），则y0＝

1

2

(y1+y2)＝

b

3

，
又M∈l，于是x0＝y0?c＝?

2b

3

． （2分）
由|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，∴k_PM=-1，
由P（0，-1），得?1＝

b 3 +1

? 2b 3

，解得b=3，
∴a²=b²+c²=18，（2分）
故椭圆C的方程为

x2

18

+

y2

9

＝1．（1分）