Question

如图，在三角形ABC中，CD是AB边上的高，且CD的平方=AD*BD，试说明三角形ABC是直角三角形

Answer 1

证明：因为CD是三角形ABC的高
所以角BDC=角CDA=90度
因为CD^2=AD*BD
所以CD/BD=AD/CD
所以三角形BDC和三角形CDA相似
所以角B=角ACD
因为角B+角BDC+角BCD=180度
所以角B+角BCD=90度
所以角ACD+角BCD=角ACB=90度
所以三角形ABC是直角三角形

追问

我还没学相似，可以尽量就用勾股定理吗

追答

可以用勾股定理
证明：因为CD是三角形ABC的高
所以角BDC=角CDA=90度
所以三角形BDC和三角形CDA是直角三角形
所以由勾股定理得：
BC^2=BD^2+CD^2
AC^2=CD^2+AD^2
所以BC^2+AC^2=BD^2+AD^2+2CD^2
BC^2+AC^2=(BD+AD)^2-2BD*AD
因为BD+AD=AB
CD^2=BD*AD
所以BC^2+AC^2=AB^2-2CD^2+2CD^2
所以AB^2=AC^2+BC^2
所以三角形ABC是直角三角形