Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与 轴相交于点A，与 轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度页在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

（1）线段AB长度的最小值为4 理由如下： 连接OP因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB 取AB的中点C，则               …………3分 当 时，OC最短， 即AB最短，此时                     …………4分 （2）设存在符合条件的点Q， 如图①， 设四边形APOQ为平行四边形， 因为四边形APOQ为矩形 又因为 所以四边形APOQ为正方形 所以 ， 在Rt△OQA中，根据 ， 得Q点坐标为（ ）。         …………7分 如图②，设四边形APQO为平行四边形 因为OQ∥PA， ， 所以 ， 又因为 所以 ， 因为 PQ∥OA， 所以 轴。 设 轴于点H， 在Rt△OHQ中，根据 ， 得Q点坐标为（ ） 所以符合条件的点Q的坐标为（ ）或（ ）。

（1）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短； （2）分两种情况：如图（1），当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（ ，﹣ ），如图（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（﹣ ， ）．