Question

设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），集合A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f（f（x）），x∈R}．（1）证明：A

设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），集合A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f（f（x）），x∈R}．（1）证明：A?B；（2）当A={-1，3}时，求集合B．

Answer 1

（1）∵集合A={x|x=f（x），x∈R}，
∴任取m∈A，有m=f（m），
∴f（m）=f（f（m）），
从而m=f（f（m）），
因此m∈B，于是A?B；
（2）∵A={-1，3}，将x=-1和3带入x=x²+ax+b中，得
a-1=-（-1+3），即a=-1，
b=（-1）×3=-3；
故f（x）=x²-x-3
从而（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x
移项（x²-x-3）²=x²
故x²-x-3=x或 x²-x-3=-x
x=-1，3或 x=

3

，-

3

故B={-1，3，

3

，-

3

}