Question

设函数 f(x)=ax+ 1 x+b (a，b∈Z) ，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）

设函数 f(x)=ax+ 1 x+b (a，b∈Z) ，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求f（x）的解析式：（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)=a- 1 (x+b) 2 ， 于是 2a+ 1 2+b =3 a- 1 (2+b) 2 =0 解得 a=1 b=-1 或 a= 9 4 b=- 8 3 . 因a，b∈Z，故 f(x)=x+ 1 x-1 ． （Ⅱ）证明：已知函数y 1 =x， y 2 = 1 x 都是奇函数． 所以函数 g(x)=x+ 1 x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形． 而 f(x)=x-1+ 1 x-1 +1 ．可知，函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象， 故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形． （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点 ( x 0 ， x 0 + 1 x 0 -1 ) ． 由 f′( x 0 )=1- 1 ( x 0 -1) 2 知，过此点的切线方程为 y- x 20 - x 0 +1 x 0 -1 =[1- 1 ( x 0 -1) 2 ](x- x 0 ) ． 令x=1得 y= x 0 +1 x 0 -1 ，切线与直线x=1交点为 (1， x 0 +1 x 0 -1 ) ． 令y=x得y=2x 0 -1，切线与直线y=x交点为（2x 0 -1，2x 0 -1）． 直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）． 从而所围三角形的面积为 1 2 | x 0 +1 x 0 -1 -1||2 x 0 -1-1|= 1 2 | 2 x 0 -1 ||2 x 0 -2|=2 ． 所以，所围三角形的面积为定值2．