Question

已知函数 ， (1)求函数f(x)的极值；(2)求证：当x＞1时，f(x)＞g(x)；(3)如果x 1 ＜x 2 ，且f(x 1 )=f(x

已知函数 ， (1)求函数f(x)的极值；(2)求证：当x＞1时，f(x)＞g(x)；(3)如果x 1 ＜x 2 ，且f(x 1 )=f(x 2 )，求证：f(x 1 )＞f(2-x 2 )。

Answer 1

（1）解：∵ ，∴ ， 令f′(x)=0，解得x=1， f(x)、f′(x)随x的变化情况见下表： ∴当x=1时，f(x)取得极大值f(1)= ；　 （2）证明：令 ， 则 ， 当x＞1时，1-x＜0，2x＞2，从而 ＜0， ∴ ＞0，F(x)在（1，+∞）是增函数， ∴ ， 故当x＞1时，f(x)＞g(x)。 （3）证明：∵f(x)在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数， ∴当 ，且 时，x 1 、x 2 不可能在同一单调区间内， ∴ ， 由（2）的结论知x＞1时， ＞0， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ 。