Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-2，3），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA，抛物

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-2，3），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA，抛物线y=-x2-2x+c经过点A，与x轴正半轴交于点C（1）求c的值；（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．（3）将△OAB沿直线OA翻折，记点B的对应点B′，向左平移抛物线，使B′恰好落在平移后抛物线的对称轴上，求平移后的抛物线解析式．（4）连接BC，设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果B、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．

Answer 1

解：（1）把A（-2，3）代入y=-x²-2x+c，解得c=3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（-1，4）
∵抛物线的对称轴与AB、AO的交点坐标分别为（-1，3）、（-1，1.5），
∴最小移动距离m=4-3=1，最大移动距离m=4-1.5=2.5，
∵顶点不在三角形的边上，在三角形的内部，
∴m的取值范围为1＜m＜2.5；

（3）延长BA交对称轴于M，
∵∠B′=90°，∴△AMB′∽△B′NO，

AM

B′N

＝

MB′

ON

＝

AB′

OB′

＝

2

3

，
设AM=a，可得B′N=

3

2

a，由勾股定理得：AM²+MB²=AB′²，
∴a²+（3-

3

2

a）²=2²，
解得：a₁=2，a₂=

10

13

，
∴MB=2+

10

13

=

36

13

，故向左平移

23

13

个单位，y=-（x+

36

13

）²+4；

（4）①BC为平行四边形的一边时；E₁（-1，0），E₃（-2-

7

，0），
②BC为平行四边形的对角线时E₂（3，0），E₄（-2+

7

，0），
综上所述：如果B、C、E、F构成平行四边形，则E点的坐标分别是：E₁（-1，0），E₂（3，0），E₃（-2-

7

，0），E₄（-2+

7

，0）．