Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax²+（b-1）x+c=0的△=（b-1）²-4ac=0．
联立

a+b+c?2＝0 16a+4b+c?8＝0 (b?1)2?4ac＝0 a＞0

，解得

a＝1 b＝?3 c＝4

．
∴f（x）=x²-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立?m＜

f(x)

x

＝x+

4

x

?3在x∈（1，+∞）上恒成立；
令g（x）=x+

4

x

?3(x＞1)，则g(x)≥2

x? 4 x

?3＝4?3＝1，当且仅当x=2时取等号．
∴m＜1．