Question

若函数f（x）=（a-3）x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，则实数a的取值范围是（　　）A．（-2，+∞）B

若函数f（x）=（a-3）x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，则实数a的取值范围是（　　）A．（-2，+∞）B．[?32，12]C．[?32，13)D．（-2，12]

Answer 1

由函数f（x）=（a-3）x-ax³ 求导函数为：f^′（x）=-3ax²+（a-3），
①当a=0时，f（x）=-3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=-3，符合题意，
所以a=0符合题意；
②当a≠0时，f^‘（x）=0，即 3ax²=a-3  
（I）当0＜a≤3时，f^′（x）=-3ax²+（a-3）为开口向下的二次函数，且△=12a（a-3）≤0，f^‘（x）≤0恒成立
所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=-3，此时符合题意；
（II）当a＜0或a＞3时，f^′（x）=0，即 3ax²=a-3  
 解得：x＝

a?3 3a

或x＝?

a?3 3a

，
①当?

a?3 3a

≥?1  且

a?3 3a

≤1，即a≤?

3

2

时，
函数f（x）在[-1，-

a?3 3a

]上单调递增，在[?

a?3 3a ，

a?3 3a ]

上单调递减，在[

a?3 3a

.1]上单调递增，
所以此时函数在定义域的最小值为f（-1）=-3或f（-

a?3 3a

）=

a?3 3a

(2?

2a

3

)   令f(?

a?3 3a )

＞?3  
解得：a∈φ
  ② 当?

a?3 3a

＜?1 且

a?3 3a

＞1，
即?

3

2

≤a≤12时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f（1）=-3，符合题意．
综上所述：当即?

3

2

≤ a≤12 时符合题意．
故选B