如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面...
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角P-AB-D余弦值．
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（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵∠DBA=30°，∠DAB=60°，
∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，
∴BD⊥面PAD，∴PA⊥BD．
（Ⅱ）过D作DO⊥AB交AB于O，连接PO，
∵PD⊥底面ABCD，
∴∠POD为二面角P-AB-D的平面角．
在Rt△ABD中，∵AD=1，∠ABD=30°，
∴AB＝2，BD＝
，∴DO＝
，
而PD=AD=1，在Rt△PDO中，PD＝1，DO＝
，
∴PO＝
，
∴cos∠POD＝
＝
．
∴二面角P-AB-D余弦值为
．
解：（Ⅰ）∵∠DBA=30°，∠DAB=60°，
∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，
∴BD⊥面PAD，∴PA⊥BD．
（Ⅱ）过D作DO⊥AB交AB于O，连接PO，
∵PD⊥底面ABCD，
∴∠POD为二面角P-AB-D的平面角．
在Rt△ABD中，∵AD=1，∠ABD=30°，
∴AB＝2，BD＝
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| 2 |
而PD=AD=1，在Rt△PDO中，PD＝1，DO＝
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| 2 |
∴PO＝
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| 2 |
∴cos∠POD＝
| DO |
| PO |
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∴二面角P-AB-D余弦值为
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| 7 |
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