Question

在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（

在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（1）如图1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是______（2）如图2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MED的形状．

Answer 1

解答：（1）MD=ME．   
解：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中，

∠ADB＝∠AEC ∠ABD＝∠ACE AB＝AC

，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM．
在△DBM和△ECM中，

BD＝CE ∠DBM＝∠ECM BM＝CM

，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．
                             
（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形
ACE斜边上的高，
所以F、G分别是AB、AC的中点．
又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
∴MF＝

1

2

AC，MG＝

1

2

AB，MF∥AC，MG∥AB．
∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．
∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．
∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
∴EG＝

1

2

AC，DF＝

1

2

AB．
∴MF=EG，DF=MG．                 
在△DFM与△MGE中，

MF＝EG ∠DFM＝∠MGE DF＝MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS）．
∴DM=ME．                      
∠FMD=∠GEM
∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME
∵EG⊥AC
∴∠EGC=90°
∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°
∴∠DME=90°   
∴DM⊥EM．

（3）如图所示：
△MDE是等腰直角三角形．