Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn（ n∈N*），S3=18，a4=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝1n(12?

已知等差数列{an}的前n项和为Sn（ n∈N*），S3=18，a4=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝1n(12?an)，求Tn=b1+b2+…+bn；（3）若数列{cn}满足cn＝2n2+48nTn，求cn的最小值及此时n的值．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则S₃=3a₁+

3×2

2

d=18，a₄=a₁+3d=2，
解得a₁=8，d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=-2n+10；
（2）由（1）可得bn＝

1

n(12?an)

=

1

n(12+2n?10)

=

1

n(2n+2)

=

1

2

（

1

n

?

1

n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

）=

n

2(n+1)

（3）由（2）可得cn＝

2n2+48

n

Tn=

n2+24

n+1

=

(n+1)2?2(n+1)+25

n+1

=n+1+

25

n+1

-2≥2

25

-2=8，
当且仅当n+1=

25

n+1

，即n=4时取等号，此时c_n取最小值8