Question

利用微分中值定理证明不等式ln(1+1/x)＞1/x+1(0＜x＜∞)

Answer 1

设f(t)=lnt (t>0).
当1<t<x+1时，
依拉格朗日中值定理得
f(x+1)-f(1)=x·f'(ξ) (1<ξ<x+1)
→ln(x+1)=x/ξ.
而1<ξ<x+1
→1/(x+1)<1/ξ<1
∴ln(x+1)-lnx>1/(x+1)
即ln(1+1/x)>1/(x+1)。

Answer 2

由拉格朗日中值定理 ：ln(1+1/x)=ln(1+x)-ln(x)=1/c,c大于x小于1+x
由于c<(1+x)故1/c>1/(1+x)，因此

ln(1+1/x)＞1/(x+1)

追问

谢谢