Question

高数题，求大神解答，最好是手写

Answer 1

满足条件的x0称为f(x)的不动点，先证明不动点的存在性，令g(x)=f(x)-x，问题转化为证明g(x)在(0,1)内存在零点，由于f(x)的值域为(0,1)，因此0<f(x)<1，有g(0)=f(0)-0>0，g(b)=f(1)-1<0，根据连续函数的零点定理，可知存在x0属于(0,1)，使得g(x0)=f(x0)-x0=0，即f(x0)=x0。再证唯一性，用反证法，假设x0和x1都是不动点，即f(x0)=x0，f(x1)=x1，则f(x1)-f(x0)=x1-x0，而根据拉格朗日中值定理，又有f(x1)-f(x0)=f'(ξ)(x1-x0)，这样就有f'(ξ)(x1-x0)=x1-x0，由于x1≠x0，这就是说存在ξ属于(0,1)，使得f'(ξ)=1，这和条件“任意x属于(0,1)，f'(x)≠1”矛盾，故x0是唯一的。

追问

嗯嗯，我已经会了，不过还是谢谢你哦

追答

不客气，谢谢及时采纳。。。