高数题,求大神解答,最好是手写
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满足条件的x0称为f(x)的不动点,先证明不动点的存在性,令g(x)=f(x)-x,问题转化为证明g(x)在(0,1)内存在零点,由于f(x)的值域为(0,1),因此0<f(x)<1,有g(0)=f(0)-0>0,g(b)=f(1)-1<0,根据连续函数的零点定理,可知存在x0属于(0,1),使得g(x0)=f(x0)-x0=0,即f(x0)=x0。再证唯一性,用反证法,假设x0和x1都是不动点,即f(x0)=x0,f(x1)=x1,则f(x1)-f(x0)=x1-x0,而根据拉格朗日中值定理,又有f(x1)-f(x0)=f'(ξ)(x1-x0),这样就有f'(ξ)(x1-x0)=x1-x0,由于x1≠x0,这就是说存在ξ属于(0,1),使得f'(ξ)=1,这和条件“任意x属于(0,1),f'(x)≠1”矛盾,故x0是唯一的。
追问
嗯嗯,我已经会了,不过还是谢谢你哦
追答
不客气,谢谢及时采纳。。。
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